Question

（2013•豐臺(tái)區(qū)二模）已知橢圓C：

x2

4

+y2=1，其短軸的端點(diǎn)分別為A，B（如圖），直線AM，BM分別與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M （m，

1

2

） 滿足m≠0，且m≠±

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率e；
（Ⅱ）用m表示點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；
（Ⅲ）證明直線EF與y軸交點(diǎn)的位置與m無關(guān)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出a，b，利用c²=a²-b²即可得到c，再利用離心率的計(jì)算公式e=

c

a

即可得出；
（Ⅱ）利用點(diǎn)斜式分別寫出直線AM，BM的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，即可得到點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）得到直線EF的方程，令x=0，即可得到y(tǒng)的值．

解答：解：（Ⅰ）依題意知a=2，c=

3

，∴e=

3

2

；              
（Ⅱ）∵A（0，1），B（0，-1），M （m，

1

2

），且m≠0，
∴直線AM的斜率為k₁=-

1

2m

，直線BM斜率為k₂=

3

2m

，
∴直線AM的方程為y=-

1

2m

x+1，直線BM的方程為y=

3

2m

x-1，
由

x2 4 +y2=1 y=- 1 2m x+1

得（m²+1）x²-4mx=0，
∴x=0，x=

4m

m2+1

，∴E(

4m

m2+1

，

m2-1

m2+1

)，
由

x2 4 +y2=1 y= 3 2m x-1

得（9+m²）x²-12mx=0，
∴x=0，x=

12m

m2+9

，∴F(

12m

m2+9

，

9-m2

m2+9

)；                
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：
k_EF=

9-m2 m2+9 - m2-1 m2+1

12m m2+9 - 4m m2+1

=-

m2+3

4m

．
∴直線EF的方程為：y-

m2-1

m2+1

=-

m2+3

4m

(x-

4m

m2+1

)，
令x=0，得y=

m2-1

m2+1

+

m2+3

m2+1

=2，
∴直線EF與y軸的交點(diǎn)為（0，2）與m無關(guān)．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、點(diǎn)斜式等是解題的關(guān)鍵．本題需要較強(qiáng)的計(jì)算能力．