Question

7．設(shè)g（x）二階可導(dǎo)，確定a，b，c，使函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+bx+c，x＞0}\\{g（x），x≤0}\end{array}\right.$，在x=0處二階可導(dǎo)．

Answer 1

分析 首先在x＜0和x＞0上f（x）顯然都二階可導(dǎo)（g（x）二階可導(dǎo)，二次函數(shù)也二階可導(dǎo)），只需要討論x=0處可導(dǎo)表連續(xù)，即函數(shù)值左極限=右極限，二階可導(dǎo)表示一階也可導(dǎo)，即一階導(dǎo)數(shù)函數(shù)值左極限=右極限，二階可導(dǎo)，即二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)值左極限=右極限，即求出a，b，c的值．

解答 解：首先在x＜0和x＞0上f（x）顯然都二階可導(dǎo)（g（x）二階可導(dǎo)，二次函數(shù)也二階可導(dǎo)），
只需要討論x=0處可導(dǎo)表連續(xù)，即函數(shù)值左極限=右極限，
即$\underset{lim}{x→0-}$f（x）=$\underset{lim}{x→0+}$f（x），
∴$\underset{lim}{x→0-}$f（x）=$\underset{lim}{x→0-}$ （ax²+bx+c），
∴g（0）=c，
∵二階可導(dǎo)表示一階也可導(dǎo)，即一階導(dǎo)數(shù)函數(shù)值左極限=右極限，
∴$\underset{lim}{x→0-}$f′（x）=$\underset{lim}{x→0+}$f′（x），
∴$\underset{lim}{x→0-}$f′（x）=$\underset{lim}{x→0-}$ （2ax+b），
∴g'（0）=b（g'（0）存在因?yàn)間（x）二階可導(dǎo)），
∵二階可導(dǎo)，即二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)值左極限=右極限
∴$\underset{lim}{x→0-}$f″（x）=$\underset{lim}{x→0+}$f″（x），
∴$\underset{lim}{x→0-}$f″（x）=$\underset{lim}{x→0-}$ 2a，
∴g″（0）=2a，
∴a=$\frac{1}{2}$g″（0），
∴需要f（x）二階可導(dǎo)，必然有
a=$\frac{1}{2}$g″（0），b=g'（0），c=g（0）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二階導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的函數(shù)的連續(xù)性，以及分類討論的思想，關(guān)鍵是得到左極限=右極限，屬于中檔題．