Question

已知f（x）=ax²+bx，若1≤f（1）≤3，-1≤f（-1）≤1，則f（2）的取值范圍是

[2，10]

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設(shè)f（2）=λf（1）+μf（-1），結(jié)合題中函數(shù)關(guān)系式建立關(guān)于λ、μ的方程組解出λ=3且μ=1，從而得到f（2）=3f（1）+f（-1），最后利用不等式的基本性質(zhì)將同向不等式相加，即得f（2）的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=ax²+bx，∴f（1）=a+b，f（-1）=a-b，f（2）=4a+2b
設(shè)f（2）=λf（1）+μf（-1），則

4=λ+μ 2=λ-μ

，解之得λ=3且μ=1，即f（2）=3f（1）+f（-1），
∵1≤f（1）≤3，∴3≤3f（1）≤9…①
又∵-1≤f（-1）≤1，…②
∴不等式①②相加，得2≤3f（1）+f（-1）≤10，即2≤f（2）≤10
故f（2）的取值范圍是[2，10]
故答案為：[2，10]

點評：本題給出二次函數(shù)在已知f（1）、f（-1）的范圍性質(zhì)下求f（2）的范圍．著重考查了不等式的基本性質(zhì)和簡單的性質(zhì)規(guī)劃等知識，屬于基礎(chǔ)題．