Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3a²x+1
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知a＞0，若?x∈[1，2]，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入，求出函數(shù)的解析式，進而求出導函數(shù)的解析式，分析導函數(shù)的符號后，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若?x∈[1，2]，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．則?x∈[1，2]，恒有3a2≤

x3+1

x

，構(gòu)造函數(shù)h(x)=

x3+1

x

，利用導數(shù)法求出其最小值，可得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=x³-3x+1
f'（x）=3x²-3
由f'（x）＞0得x＜-1或x＞1，
由f'（x）＜0得-1＜x＜1
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，1）
（2）由題?x∈[1，2]，恒有x³-3a^2x+1≥0⇒?x∈[1，2]，恒有3a2≤

x3+1

x

令h(x)=

x3+1

x

=x2+

1

x

，h′(x)=2x-

1

x2

=

2(x3- 1 2 )

x2

，
當x∈[1，2]時，h'（x）＞0
∴h（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（1）=2
故3a²≤2
又a＞0
∴0＜a≤

6

3

點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握導函數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和最值的方法和步驟是解答的關(guān)鍵．