Question

如圖，在以點O為圓心，|AB|＝4為直徑的半圓ADB中，OD⊥AB，P是半圓弧上一點，∠POB＝30°，曲線C是滿足||MA|－|MB||為定值的動點M的軌跡，且曲線C過點P．

(Ⅰ)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼�，求曲線C的方程；

(Ⅱ)設(shè)過點D的直線l與曲線C相交于不同的兩點E、F．若△OEF的面積不小于2，求直線l斜率的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解法1：以O為原點，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，則A(－2，0)，B(2，0)，D(0，2)，P()，依題意得 　　|MA|－|MB|＝|PA|－|PB|＝＜|AB|＝4． 　　∴曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線． 　　設(shè)實平軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c， 　　則c＝2，2a＝2，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2． 　　∴曲線C的方程為． 　　解法2：同解法1建立平面直角坐標系，則依題意可得|MA|－|MB|＝|PA|－|PB|＜|AB|＝4． 　　∴曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線． 　　設(shè)雙曲線的方程為＞0，b＞0)． 　　則由解得a2＝b2＝2， 　　∴曲線C的方程為 　　(Ⅱ)解法1：依題意，可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2，代入雙曲線C的方程并整理得(1－k2)x2－4kx－6＝0． 　　∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F， 　　∴ 　　∴k∈(－，－1)∪(－1，1)∪(1，)． 　　設(shè)E(x，y)，F(x2，y2)，則由①式得x1＋x2＝，于是 　　|EF|＝ 　�。� 　　而原點O到直線l的距離d＝， 　　∴S△DEF＝ 　　若△OEF面積不小于2，即S△OEF，則有 　　　�、� 　　綜合②、③知，直線l的斜率的取值范圍為[－，－1]∪(1－，1)∪(1，)． 　　解法2：依題意，可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2，代入雙曲線C的方程并整理， 　　得(1－k2)x2－4kx－6＝0． 　　∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F， 　　∴． 　　∴k∈(－，－1)∪(－1，1)∪(1，)． 　　設(shè)E(x1，y1)，F(x2，y2)，則由①式得 　　|x1－x2|＝　�、� 　　當E、F在同一去上時(如圖1所示)， 　　S△OEF＝ 　　當E、F在不同支上時(如圖2所示)． 　　S△ODE＝ 　　綜上得S△OEF＝于是 　　由|OD|＝2及③式，得S△OEF＝ 　　若△OEF面積不小于2 　　　�、� 　　綜合②、④知，直線l的斜率的取值范圍為[－，－1]∪(－1，1)∪(1，)． 　　本小題主要考查直線、圓和雙曲線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查軌跡方程的求法、不等式的解法以及綜合解題能力．(滿分13分)