Question

四面體A-BCD的棱長(zhǎng)均為a，E、F分別為棱AD、BC的中點(diǎn)，求異面直線AF與CE所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：畫出立體圖形，根據(jù)中點(diǎn)找平行線，把所求的異面直線角轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形的內(nèi)角來計(jì)算．

解答：解：由題意可得四面體A-BCD為正四面體，如圖，連接BE，取BE的中點(diǎn)K，連接FK，則FK∥CE，
故∠AFK即為所求的異面直線角或者其補(bǔ)角．
設(shè)這個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，在△AKF中，AF=

3

=CE，KF=

1

2

CE=

3

2

，KE=

1

2

BE=

3

2

，
∴AK=

AE2+KE2

=

12+( 3 2 )2

=

7

2

． 
△AKF中，由余弦定理可得 cos∠AFK=

AF2+FK2 -AK2

2AF•FK

=

3+ 3 4 - 7 4

2× 3 ×  3 2

=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問題的一個(gè)重要技巧，這個(gè)技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個(gè)中點(diǎn)，則找中點(diǎn)是出現(xiàn)平行線的關(guān)鍵技巧．