Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d有兩個極值點x₁=1，x₂=2，且直線y=6x+1與曲線y=f（x）相切于P點．
（1）求b和c        
（2）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（3）在d為整數(shù)時，求過P點和y=f（x）相切于一異于P點的直線方程．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：f′（x）=3x²+2bx+c，所以3x²+2bx+c=0的兩個根為x₁=1，x₂=2，進而得到a與b的關系式解決問題．
（2）設切點為（x₀，y₀），根據(jù)題意可得f′（x₀）=6，即x₀=3或者x₀=0，即可解出切點的坐標求出函數(shù)y=f（x）的解析式．
（3）由題意可得：設切點的坐標為（x₁，y₁），
所以K切=

y1-1

x1

=

x 3 1 - 9 2 x 2 1  +6x1

x1

=

x

2 1

-

9

2

x1+6…①．所以K_切=3x₁²-9x₁+6…②，所以切點為（

9

4

，

199

64

），所以K切=

15

16

，所以切線方程為15x-16y+16=0．

解答：解：（1）由題意可得：函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的導數(shù)為：f′（x）=3x²+2bx+c，
因為函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d有兩個極值點x₁=1，x₂=2，
所以3x²+2bx+c=0的兩個根為x₁=1，x₂=2，
所以2b+c+3=0，并且4b+c+12=0，
解得：b=-

9

2

，c=6．
（2）設切點為（x₀，y₀），
由（1）可得：f′（x）=3x²-9x+6，
因為直線y=6x+1與曲線y=f（x）相切于P點，
所以f′（x₀）=6，即x₀=3或者x₀=0，
當x₀=3時，y₀=19，所以函數(shù)y=f（x）的解析式為f（x）=x³-

9

2

x²+6x+

27

2

．
當x₀=0時，y₀=1，所以函數(shù)y=f（x）的解析式為f（x）=x³-

9

2

x²+6x+1．
（3）由題意可得：f（x）=x³-

9

2

x²+6x+1，并且P（0，1），
設切點的坐標為（x₁，y₁），
所以K切=

y1-1

x1

=

x 3 1 - 9 2 x 2 1  +6x1

x1

=

x

2 1

-

9

2

x1+6…①．
又因為f′（x）=3x²-9x+6，
所以K_切=3x₁²-9x₁+6…②，
由①②可得：x1=

9

4

或者x1=0(舍去)，
所以切點為（

9

4

，

199

64

），所以K切=

15

16

，
所以切線方程為15x-16y+16=0．
所以過P點和y=f（x）相切于一異于P點的直線方程為15x-16y+16=0．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握導數(shù)的幾何意義與求導公式，求切線方程時應該首先弄清切線所過的點是否為切點，再根據(jù)題意采用不同的方法進行處理．