Question

在△ABC中，A=120°，b=1，S_△ABC=

3

，求：
（Ⅰ）a，c；
（Ⅱ）sin（B+

π

6

）的值．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理的面積公式，解出c=4，再由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子，即可解出邊a的長；
（2）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

的式子，解出sinB=

7

14

，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系算出cosB=

3 21

14

，最后利用兩角和的正弦公式，可得sin（B+

π

6

）=sinBcos

π

6

+cosBsinB=

21

7

．

解答：解：（1）∵S_△ABC=

3

，∴根據(jù)正弦定理，得

1

2

bcsinA=

3

，
即

1

2

×1×c×sin120°=

3

，解之得c=4，
∴a²=b²+c²-2bccosA=21，可得a=

21

，
綜上所述，a=

21

，c=4；
（2）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得sinB=

bsinA

a

=

7

14

∵B∈（0°，60°），∴cosB=

1-sin2B

=

3 21

14

由此可得
sin（B+

π

6

）=sinBcos

π

6

+cosBsinB=

7

14

×

3

2

+

3 21

14

×

1

2

=

21

7

．

點評：本題給出三角形的一個角和一條邊，在已知面積的情況下解三角形，著重考查了正余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角和的正弦公式等知識，屬于中檔題．