已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)為偶函數(shù)．
（Ⅰ） 求k的值；
（Ⅱ） 若方程f(x)=log4(a•2x-a)有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．
分析：（I）由f（x）為偶函數(shù)，可得f（-x）=f（x），代入整理可求k
（II）依題意知：log4(4x+1)-
1
2
x=log4(a2x-a)（*）⇒
4x+1=(a•2x-a)•2x
(a•2x-a)＞0
令t=2x則*變?yōu)椋?-a）t2+at+1=0只需其有一正根，根據(jù)二次方程的根的性質(zhì)可求a的范圍
解答：解：（I）因為f（x）為偶函數(shù)，
所以f（-x）=f（x）
∴log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx
整理可得（2k+1）x=0
∴k=-
1
2

（II）依題意知：log4(4x+1)-
1
2
x=log4(a2x-a)（*）
⇒
4x+1=(a•2x-a)•2x
(a•2x-a)＞0

令t=2x則*變?yōu)椋?-a）t2+at+1=0只需其有一正根．
（1）a=1，t=-1不合題意
（2）（*）式有一正一負根
△=a2-4(1-a)＞0
t1t2=
1
1-a
＜0

經(jīng)驗證滿足a•2x-a＞0∴a＞1
（3）兩相等△=0⇒a=±2
2
-2
經(jīng)驗證a•2x-a＞0
∴a=-2-2
2

綜上所述a＞1或a=-2-2
2
點評：本題主要考查了偶函數(shù)的定義的應用，二次方程的根的分布問題，要注意方程有一個正根與方程只要一個根是完全不同的概念．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數(shù)a，b的值：
（2）當a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數(shù)．

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