Question

已知函數(shù)f（x）=（x-a）lnx，f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x）．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）設(shè)g(x)=

1

2

x2+ax-f′(x)(a＞-1)，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=0代入函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在定義域內(nèi)的最值；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，代入g(x)=

1

2

x2+ax-f′(x)(a＞-1)，求導(dǎo)后分-1＜a＜0和a≥0分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后結(jié)論分寫即可．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=xlnx，f'（x）=lnx+1．
令f'（x）=0，得x=

1

e

．

x	(0， 1 e )	1 e	( 1 e ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

∴f（x）的最小值為f(

1

e

)=-

1

e

．
（Ⅱ）∵f′(x)=lnx+

x-a

x

，
∴g(x)=

1

2

x2+ax-(lnx+

x-a

x

)．
g′(x)=x+a-(

1

x

+

a

x2

)=(x+a)(1-

1

x2

)=

(x+1)

x2

(x+a)(x-1)．
（1）當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，在（0，-a），（1，+∞）內(nèi)g'（x）＞0；
在（-a，1）內(nèi)g'（x）＜0．
∴（-a，1）為遞減區(qū)間，（0，-a），（1，+∞）遞增區(qū)間．
（2）當(dāng)a≥0時(shí)，在（0，1）內(nèi)，g'（x）＜0；
在（1，+∞）內(nèi)，g'（x）＞0．
∴（0，1）為遞減區(qū)間，（1，+∞）為遞增區(qū)間．
綜上所述，當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，g（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（0，-a），（1，+∞），
遞減區(qū)間為（-a，1）；
當(dāng)a≥0時(shí)，g（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．屬有一定難度題目．