Question

（2013•朝陽(yáng)區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx+2a+2，其中a≤2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（0，2]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求函數(shù)的定義域再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)單調(diào)遞減．
（II）此題考查的是函數(shù)的零點(diǎn)存在問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中要先結(jié)合函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)的條件，結(jié)合（I）中確定函數(shù)的增減區(qū)間，求出函數(shù)的極小值和極大值，再轉(zhuǎn)化出不等關(guān)系，利用此不等關(guān)系即可獲得問(wèn)題的解答．

解答：解：（I）函數(shù)定義域?yàn)閤＞0，且f′（x）=2x-（a+2）+

a

x

=

(2x-a)(x-1)

x

…（2分）
①當(dāng)a≤0，即

a

2

≤0時(shí)，令f'（x）＜0，得0＜x＜1，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），
令f'（x）＞0，得x＞1，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）．
②當(dāng)0＜

a

2

＜1，即0＜a＜2時(shí)，令f'（x）＞0，得0＜x＜

a

2

或x＞1，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

a

2

)，（1，+∞）．
令f'（x）＜0，得

a

2

＜x＜1，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(

a

2

，1)．
③當(dāng)

a

2

=1，即a=2時(shí)，f'（x）≥0恒成立，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．…（7分）
（Ⅱ）①當(dāng)a≤0時(shí)，由（Ⅰ）可知，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），f（x）在（1，2]單調(diào)遞增．
所以f（x）在（0，2]上的最小值為f（1）=a+1，
由于f(

1

e2

)=

1

e4

-

2

e2

-

a

e2

+2=(

1

e2

-1)2-

a

e2

+1＞0，
要使f（x）在（0，2]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
需滿足f（1）=0或

f(1)＜0 f(2)＜0

解得a=-1或a＜-

2

ln2

．
②當(dāng)0＜a≤2時(shí)，由（Ⅰ）可知，
（ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增；
且f(e-4)=

1

e8

-

4

e4

-2＜0，f(2)=2+2ln2＞0，所以f（x）在（0，2]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
（ⅱ）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）在(

a

2

，1)上單調(diào)遞減，在（1，2]上單調(diào)遞增；
又因?yàn)閒（1）=a+1＞0，所以當(dāng)x∈(

a

2

，2]時(shí)，總有f（x）＞0．
因?yàn)閑 -

2a+2

a

＜1＜a+2，
所以f（e -

2a+2

a

）=e -

2a+2

a

[e -

2a+2

a

-（a+2）]+（alne -

2a+2

a

+2a+2）＜0．
所以在區(qū)間（0，

a

2

）內(nèi)必有零點(diǎn)．又因?yàn)閒（x）在（0，

a

2

）內(nèi)單調(diào)遞增，
從而當(dāng)0＜a≤2時(shí)，f（x）在（0，2]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，0＜a≤2或a＜-

2

ln2

或a=-1時(shí)，f（x）在（0，2]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)存在問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，以及零點(diǎn)定理的相關(guān)知識(shí)．值得同學(xué)們體會(huì)反思．