已知a＞0，函數(shù)f(x)＝ax－bx2．

(1)當(dāng)b＞0時(shí)，若對(duì)任意x∈R都有f(x)≤1，證明a≤；

(2)當(dāng)b＞1時(shí)，證明對(duì)任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要條件是b－1≤a≤．

答案：
解析：

　　證明：(1)依題意設(shè)對(duì)任意x∈R都有f(x)≤1，

　　∵f(x)＝－b(x－)2＋，

　　∴f()＝≤1．

　　∵a＞0，b＞0，∴a≤．

　　(2)必要性：對(duì)任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1f(x)≥－1，

　　∴f(1)≥－1，即a－b≥－1，∴a≥b－1．

　　對(duì)任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1f(x)≤1，∵b＞1，可以推出f()≤1，即a·－1≤1．

　　∴a≤．∴b－1≤a≤．

　　充分性：∵b＞1，a≥b－1，對(duì)任意x∈[0，1]，可以推出ax－bx2≥b(x－x2)－x≥－x≥－1，即ax－bx2≥－1．

　　∵b＞1，a≤，對(duì)任意x∈[0，1]可以推出ax－bx2≤x－bx2≤1，即ax－bx2≤1．

　　∴－1≤f(x)≤1．

　　綜上，當(dāng)b＞1時(shí)，對(duì)任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要條件是b－1≤a≤．


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，若x0滿足關(guān)于x的方程2ax+b=0，則下列選項(xiàng)的命題中為假命題的是（　�。�
A、?x∈R，f（x）≤f（x0）B、?x∈R，f（x）≥f（x0）C、?x∈R，f（x）≤f（x0）D、?x∈R，f（x）≥f（x0）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為l，若l與圓（x+1）2+y2=1相切，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax．
（1）設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為l，若l與圓（x+1）2+y2=1相切，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f（x）=lnx-ax2，x＞0．（f（x）的圖象連續(xù)不斷）
（Ⅰ）當(dāng)a=
1
8
時(shí)
①求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
②證明：存在x0∈（2，+∞），使f（x0）=f（
3
2
）；
（Ⅱ）若存在均屬于區(qū)間[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f（α）=f（β），證明
ln3-ln2
5
≤a≤
ln2
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f(x)=
|x-2a|
x+2a
在區(qū)間[1，4]上的最大值等于
1
2
，則a的值為
 
．

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