Question

設(shè)集合W是滿足下列兩個(gè)條件的無(wú)窮數(shù)列的集合：①對(duì)任意，恒成立；②對(duì)任意，存在與n無(wú)關(guān)的常數(shù)M，使恒成立．
（1）若是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且試探究數(shù)列與集合W之間的關(guān)系；
（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且，求M的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）先根據(jù)條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到的前n項(xiàng)和，然后檢驗(yàn)其是否滿足①②條件即可；（2）由數(shù)列的通項(xiàng)公式經(jīng)作差可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，從而得到數(shù)列中的最大項(xiàng)為，由恒成立，從而知的取值范圍是.
試題解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差是，則
 解得   1分
∴   (3分)
∴ 
∴，適合條件①
又，
∴當(dāng)或時(shí)，取得最大值20，即，適合條件②．
綜上，   （6分）
（2）∵，
∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減；   9分
當(dāng)時(shí)，，即，   10分
因此，數(shù)列中的最大項(xiàng)是，   11分
∴，即M的取值范圍是．   12分