Question

10．已知函數f（x）=e^x（x²+ax+a）．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）求證：當a≥4時，函數f（x）存在最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間即可；
（Ⅱ）結合（Ⅰ）得到函數f（x）在x∈[-a，+∞）上f（x）≥f（-2），而x∈（-∞，-a）時，f（x）=e^x[x（x+a）+a]＞0，從而求出f（x）的最小值是f（-2）；法二：根據函數的單調性求出f（x）的最小值是f（-2）即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x（x+2）（x+a），
由f′（x）=0，解得：x=-2或x=-a，
①-a=-2即a=2時，f′（x）=e^x（x+2）²≥0恒成立，
∴函數f（x）在R遞增；
②-a＞-2即a＜2時，x，f′（x），f（x）的變化如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增		遞減		遞增

③-a＜-2即a＞2時，x，f′（x），f（x）的變化如下：

x	（-∞，-a）	-a	（-a，-2）	-2	（-2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增		遞減		遞增

綜上，a=2時，函數f（x）在R遞增，a＜2時，f（x）在（-∞，-2），（-a，+∞）遞增，在（-2，-a）遞減，
a＞2時，f（x）在（-∞，-a），（-2，+∞）遞增，在（-a，-2）遞減；
（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）得：a≥4時，函數f（x）在x∈[-a，+∞）上f（x）≥f（-2），
且f（-2）=e^-2（4-a）≤0，
∵a≥4，
∴x∈（-∞，-a）時，x（x+a）≥0，e^x＞0，
x∈（-∞，-a）時，f（x）=e^x[x（x+a）+a]＞0，
∴a≥4時，函數f（x）存在最小值f（-2）；
法二：由（Ⅰ）得：a≥4時，函數f（x）在x∈[-a，+∞）上f（x）≥f（-2），
且f（-2）=e^-2（4-a）≤0，
x→-∞時，x²+ax+a→+∞，∴f（x）＞0，
由（Ⅰ）可知，函數f（x）在（-∞，-a）遞增，
∴x∈（-∞，-a）時，f（x）＞0，
∴a≥4時，函數f（x）的最小值是f（-2）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．