Question

【題目】已知橢圓C： ，F(xiàn)1 ， F2分別為左右焦點(diǎn)，在橢圓C上滿(mǎn)足條件 的點(diǎn)A有且只有兩個(gè)
（1）求橢圓C的方程
（2）若過(guò)點(diǎn)F2的兩條相互垂直的直線(xiàn)l1與l2 ， 直線(xiàn)l1與曲線(xiàn)y2=4x交于兩點(diǎn)M、N，直線(xiàn)l2與橢圓C交于兩點(diǎn)P、Q，求四邊形PMQN面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在橢圓C上滿(mǎn)足條件 的點(diǎn)A有且只有兩個(gè)，

∴A點(diǎn)為橢圓短軸兩端點(diǎn)，則b=c=1，∴a2=b2+c2=2，

則橢圓C的方程為：

（2）解：令M（x1，y1），N（x2，y2），當(dāng)直線(xiàn)l1的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l2的斜率為0，

求得|MN|=4，|PQ|=2 ，則 ；

當(dāng)直線(xiàn)l1的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為y=k（x﹣1）（k≠0），

聯(lián)立 ，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．

則 ，

|MN|= ．

∵l1⊥l2，∴直線(xiàn)l2的方程：y=﹣ ．

令P（x3，y3），Q（x4，y4），

聯(lián)立 ，得（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0．

．

∴|PQ|= = ．

∴ = ．

令t=1+k2（t＞1），

∴ ．

∴四邊形PMQN面積的取值范圍是

【解析】（1）由已知可得b=c=1，再由隱含條件求得a，則橢圓方程可求；（2）當(dāng)直線(xiàn)l1的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l2的斜率為0，求出|MN|、|PQ|，求出四邊形的面積；當(dāng)直線(xiàn)l1的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為y=k（x﹣1）（k≠0），得到直線(xiàn)l2的方程：y=﹣ ．分別聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程和橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式求出|MN|、|PQ|，代入四邊形面積公式，利用換元法求得四邊形PMQN面積的取值范圍．