Question

設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對稱，對任意x₁、x₂∈［0,］,都有f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂).

(1)設(shè)f(1)=2,求f(),f();

(2)證明f(x)是周期函數(shù).

Answer 1

(1)解:由f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂),x₁、x₂∈［0,］知f(x)=f()·f()=［f()］²≥0,x∈［0,1］.

    因?yàn)閒(1)=f()·f()=［f()］²?,及f(1)=2,所以f()=.

    因?yàn)閒()=f()·f()=［f()］²,及f()=,所以f()=.

(2)證明:依題設(shè)y=f(x)關(guān)于直線x=1對稱，故f(x)=f(1+1-x)f(x)=f(2-x),x∈R.

    又由f(x)是偶函數(shù)知f(-x)=f(x),x∈R,所以f(-x)=f(2-x),x∈R.將上式中-x以x代換，得f(x)=f(x+2),x∈R.

    這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期.