Question

設(shè)橢圓E：的上焦點(diǎn)是F₁，過點(diǎn)P（3，4）和F₁作直線PF₁交橢圓于A、B兩點(diǎn)，已知A（）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)C是橢圓E上到直線PF₁距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)，求C點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由A（）和P（3，4）能求出直線PF₁的方程為：y=x+1，令x=0，得橢圓E的焦點(diǎn)為F₁（0，1）、F₂（0，-1），由橢圓的定義能求出橢圓E的方程．
（2）設(shè)與直線PF₁平行的直線l：y=x+m，由，得3x²+2mx+m²-2=0，再由根的判別式結(jié)合題設(shè)條件，能求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．．
解答：解：（1）由A（）和P（3，4）得直線PF₁的方程為：y=x+1…（1分）
令x=0，得y=1，即c=1                                          …（2分）
橢圓E的焦點(diǎn)為F₁（0，1）、F₂（0，-1），
由橢圓的定義可知…（4分）
∴…（5分）
橢圓E的方程為…（6分）
（2）設(shè)與直線PF₁平行的直線l：y=x+m…（7分），
由，消去y得3x²+2mx+m²-2=0…（8分）
△=（2m）²-4×3×（m²-2）=0，
即…（9分）
要使點(diǎn)C到直線PF₁的距離最遠(yuǎn)，
則直線L要在直線PF₁的下方，所以…（10分）
此時(shí)直線l與橢圓E的切點(diǎn)坐標(biāo)為，
故C為所求．   …（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法和求點(diǎn)的坐標(biāo)，具體涉及到橢圓的定義、直線方程的求法、橢圓的簡單性質(zhì)、根的判別式、直線與橢圓的位置關(guān)系等基本知識(shí)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．