Question

如圖，四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中點，且PA =AB =AC =2，．

（I）求證：CD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）如果N是棱AB上一點，且直線CN與平面MAB所成角的正弦值為，求的值．

Answer 1

證明：(I)連結(jié)AC．

因為為在中，

，，

所以，

所以．

因為AB//CD，

所以．

又因為地面ABCD，

所以．

因為，

所以平面PAC．

 (II)如圖建立空間直角坐標系，

則．

因為M是棱PD的中點，

所以．

所以，．

設為平面MAB的法向量，

所以，

即，

令，則，

所以平面MAB的法向量．

因為平面ABCD，

所以是平面ABC的一個法向量．

所以．

因為二面角為銳二面角，

所以二面角的大小為．

(III)因為N是棱AB上一點，所以設，．

設直線CN與平面MAB所成角為，

因為平面MAB的法向量，

所以．

解得，即，，所以．