Question

已知函數(shù)，，且函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.
（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，當(dāng)時，直線的斜率恒小于，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）證明：.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，這一條件分離出兩個條件，然后根據(jù)這兩個條件列有關(guān)和的二元一次方程組，解出和的值進(jìn)而確定函數(shù)的解析式；（Ⅱ）先將直線的斜率利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示，然后建立以為自變量的函數(shù)，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，即可求出參數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）證明不等式，構(gòu)造函數(shù)
，等價轉(zhuǎn)化為，借助極小值，但同時需要注意有些時候相應(yīng)整體的代換.
試題解析：（Ⅰ），.   1分
函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，
  即， 解得，   2分
.     3分
（Ⅱ）由、，得，
∴“當(dāng)時，直線的斜率恒小于”當(dāng)時，恒成立對恒成立.   4分
令，.
則，   5分
（�。┊�(dāng)時，由，知恒成立，
∴在單調(diào)遞增，
∴，不滿足題意的要求.   6分
（ⅱ）當(dāng)時，，，
，
∴當(dāng) ，；當(dāng)，.
即在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減.
所以存在使得，不滿足題意要求.   7分
（ⅲ）當(dāng)時，，對于，恒成立，
∴在單調(diào)遞減，恒有，滿足題意要求. 8分
綜上所述：當(dāng)時，直線的斜率恒小于.   9分
（Ⅲ）證明：令，
則， 10分
，
函數(shù)在遞增，在上的零點(diǎn)最多一個.11分
又，，
存在唯一的使得，   12分
且當(dāng)時，；當(dāng)時，.
即當(dāng)時，；當(dāng)時，.
在遞減，在遞增，
從而.    13分
由得且，，
，從而證得.     14分