Question

已知函數(shù)f（x）=|xe^x|，方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數(shù)根，則t的取值范圍為

1. A.
   （，+∞）
2. B.
   （-∞，）
3. C.
   （-，-2）
4. D.
   （2，）

Answer 1

B
分析：函數(shù)f（x）=|xe^x|化成分段函數(shù)，通過求導(dǎo)分析得到函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，在（-∞，-1）上為增函數(shù)，在（-1，0）上為減函數(shù)，求得函數(shù)f（x）在（-∞，0）上，當(dāng)x=-1時有一個最大值，所以，要使方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數(shù)根，f（x）的值一個要在（0，）內(nèi)，一個在（，+∞）內(nèi)，然后運用二次函數(shù)的圖象及二次方程根的關(guān)系列式求解t的取值范圍．
解答：f（x）=|xe^x|=，
當(dāng)x≥0時，f^′（x）=e^x+xe^x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)；
當(dāng)x＜0時，f^′（x）=-e^x-xe^x=-e^x（x+1），
由f^′（x）=0，得x=-1，當(dāng)x∈（-∞，-1）時，f^′（x）=-e^x（x+1）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（-1，0）時，f^′（x）=-e^x（x+1）＜0，f（x）為減函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）=|xe^x|在（-∞，0）上有一個最大值為f（-1）=-（-1）e^-1=，
要使方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數(shù)根，
令f（x）=m，則方程m²+tm+1=0應(yīng)有兩個不等根，且一個根在（0，）內(nèi)，一個根在（，+∞）內(nèi)，
再令g（m）=m²+tm+1，因為g（0）=1＞0，
則只需g（）＜0，即（）²+t+1＜0，
解得：t＜-．
所以，使得函數(shù)f（x）=|xe^x|，方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數(shù)根的t的取值范圍是（-∞，-）．
故選B．
點評：本題考查了根的存在性及根的個數(shù)的判斷，考查了利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，解答此題的關(guān)鍵是分析出方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數(shù)根時f（x）的取值情況，此題屬于中高檔題．