Question

十二屆全國(guó)人大二次會(huì)議上，李克強(qiáng)總理提出“以霧霾頻發(fā)的特大城市和區(qū)域?yàn)橹攸c(diǎn)，以細(xì)顆粒物PM2.5和可吸入顆粒物PM10為突破口…”治理污染，“要像對(duì)貧困宣戰(zhàn)一樣，堅(jiān)決向污染宣戰(zhàn)”，其中總理提到的“PM2.5”是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為人肺顆粒物．根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB3095-2012，PM2.5日均值在35微克/立方米-75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．在某市2013年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)值數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如表所示：

PM2.5日均值（微克/立方米）	[25，35]	[35，45]	（45，55]	（55，65]	（65，75]	（75，85]
頻數(shù)	3	1	1	1	1	3

（1）從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取3天，求恰有1天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；
（2）從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，用X表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求X的分布列；
（3）以這10天的PM2.5日均值來(lái)估計(jì)一年的空氣質(zhì)量狀況，則一年（按366天算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)．（精確到整數(shù)）

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）由表格可知：這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，只有3天達(dá)到一級(jí)，設(shè)“達(dá)到一級(jí)”為事件A，若隨機(jī)抽取3天，恰有1天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率，利用二項(xiàng)分布即可得．
（2）利用“超幾何分布”即可得出；
（3）由表格可知：這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，只有3天達(dá)到一級(jí)，只有4天達(dá)到二級(jí)，因此這10天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的概率，利用數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：（1）記“從10天的PM2.5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出 三天，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”為事件A，
P（A）=

C 1 3 •C 2 7

C 3 10

=

21

40

，
（2依據(jù)條件，X服從超幾何分布：其中n=10，M=3，n=3，X的可能值為0，1，2，3，其分布列為：P（X=k）=

C k 3 •C 3-k 7

C 3 10

，其中k=0，1，2，3，

X	0	1	2	3
P	7 24	21 40	7 40	1 120

（3）依題意可知，一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的概率為P=

7

10

，
一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的天數(shù)為Y，則Y～B（366，0.7）
∴EY=366×0.7≈256
∴一年中平均有256天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二項(xiàng)分布、“超幾何分布”及其數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，屬于基礎(chǔ)題．