Question

下列命題中，真命題是

②③

．
①若f′（x₀）=0，則函數(shù)f（x）在x=x₀處取極值．
②函數(shù)f（x）=lnx+x-2在區(qū)間（1，e）上存在零點．
③“a=1”是函數(shù)f(x)=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數(shù)的充分不必要條件．
④將函數(shù)y=2cos²x-1的圖象向右平移

3π

4

個單位可得到y(tǒng)=sin2x的圖象．
⑤點(

π

3

，

1

2

)是函數(shù)f(x)=cos

1

2

x(

3

sin

1

2

x+cos

1

2

x)圖象的一個對稱中心．

Answer 1

分析：令f（x）=x³，可判斷①錯誤；根據(jù)函數(shù)零點存在定理，可判斷②錯誤；根據(jù)奇函數(shù)的定義求出a值，利用充要條件的定義，可判斷③的真假，根據(jù)函數(shù)圖象平移變換法則，求出平移后函數(shù)的解析式，對照后可判斷④的真假，根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱性，將點的橫坐標代入可判斷⑤的真假．

解答：解：令f（x）=x³，則f′（x₀）=3x²，當x=0時，f′（x）=0，此時函數(shù)f（x）不是極值，故①錯誤；
函數(shù)f（x）=lnx+x-2在區(qū)間（1，e）上是連續(xù)的，且f（1）=-1＜0，f（e）=e-1＞0，根據(jù)函數(shù)零點存在定理，可得函數(shù)在區(qū)間（1，e）上存在零點，故②正確；
函數(shù)f(x)=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數(shù)，則f(-x)=

a-e-x

1+ae-x

=

aex-1

ex+a

=-f(x)=-

a-ex

1+aex

，即解得a=±1，故③“a=1”是函數(shù)f(x)=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數(shù)的充分不必要條件正確；
將函數(shù)y=2cos²x-1=cos2x的圖象向右平移

3π

4

個單位可得到y(tǒng)=cos[2（x-

3π

4

）]=cos（2x-

3π

2

）=-sin2x的圖象，故④錯誤．
當x=

π

3

時，函數(shù)f(x)=cos

1

2

x(

3

sin

1

2

x+cos

1

2

x)=sin(x+

π

6

)+

1

2

=

3

2

，此時函數(shù)取最大值，故⑤錯誤
故答案為②③

點評：本題是命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)取極值的條件，函數(shù)的零點，奇函數(shù)的定義，函數(shù)圖象的平移，函數(shù)的對稱性，是函數(shù)與邏輯的綜合應用．