Question

已知數(shù)列{a_n} 滿足：a₁=1，a₂=，，且a_n+2=（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n} 的通項公式；
（Ⅲ）求下表中前n行所有數(shù)的和S_n


…
．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由條件a₁=1，，a_n+2=（n∈N^*），得．所以，由此能夠證明數(shù)列為等差數(shù)列．
（Ⅱ）由，知•…=2×3×…×n=n!，由此能求出．
（Ⅲ）由=，（k=1，2，3，…，n），知第n行各數(shù)之和 =2ⁿ⁺¹-2．由此能求出表中前n行所有數(shù)的和S_n．
解答：解：（Ⅰ）由條件a₁=1，，a_n+2=（n∈N^*），
得．
∴，
∴數(shù)列為等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
∴•…=2×3×…×n=n!，
∴．…（8分）
（Ⅲ）∵=，（k=1，2，3，…，n）  …（10分）
∴第n行各數(shù)之和 
=C_n+1¹+C_n+2¹+…+C_n+1ⁿ
=2ⁿ⁺¹-2．
∴表中前n行所有數(shù)的和
S_n=（2²-2）+（2³-2）+…+（2ⁿ⁺¹-2）
=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）-2n
=
=2ⁿ⁺²-2n-4．（n=1，2，…）…（12分）
點評：本題考查等差數(shù)列的證明和數(shù)列駝項公式的求法和求數(shù)列的前n項和．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．