在數(shù)列{an}中,如果存在非零常數(shù)T,使得am+T=am對于任意的非零自然數(shù)m均成立,那么就稱數(shù)列{an}為周期數(shù)列,其中T叫做數(shù)列{an}的周期,已知數(shù)列{xn}滿足xn+1=|xn-xn-1|(n≥2,n∈N),如果x1=1,x2=a(a∈R,a≠0),當數(shù)列{xn}的周期最小時,該數(shù)列的前2008項和是( 。
分析:由xn+1=|xn-xn-1|(n≥2,n∈N*),且x1=1,x2=a(a∈R,a≠0),x3=|x2-x1|=|1-a|.對進行分類討論,得到當a=1時,數(shù)列{xn}=1,1,0,1,1,0,1,1,0…,它滿足:xm+3=xm,即最小周期為3,它從第一項起,每三項之和為1+1+0=2,再由
2008
3
=669…1
,能求出數(shù)列的前2008項和.
解答:解:∵xn+1=|xn-xn-1|(n≥2,n∈N*),
且x1=1,x2=a(a∈R,a≠0),
∴x3=|x2-x1|=|1-a|,
當a≥1時,有:x3=a-1,
x4=|x3-x2|=|(a-1)-a|=1=x1
x5=|x4-x3|=|1-(a-1)|=|2-a|,
①當a≤2時,有:x5=2-a
此時,若x5=x2,即:2-a=a,則:a=1
就有:
x1=x4=1,
x2=x5=1,
x3=0
則,數(shù)列{xn}=1,1,0,1,1,0,1,1,0…,它滿足:
xm+3=xm,即最小周期為3
②當a>2時,有:x5=a-2,
此時,若x5=x2,即:a-2=a,顯然是不可能的.
(2)當a<1時,有:x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a,
x4=|x3-x2|=|(1-a)-a|=|1-2a|
①當0<a≤
1
2
時,有:x4=1-2a,
x5=|x4-x3|=|(1-2a)-(1-a)|=|a|=a=x2,
此時,若x4=x1,即:1-2a=1,則:a=0
與已知矛盾,不符合條件.
②當
1
2
<a<1時,有:x4=2a-1,
x5=|x4-x3|=|(2a-1)-(1-a)|=3|a-1|=3(1-a)
此時,若x3=x1,即:1-a=1,則a=0,這與a≠0相矛盾.
若x4=x1,即:2a-1=1,則a=1,這與a<1相矛盾.
若x5=x1,那么即使其成立,其周期為4,也大于前面求出的最小周期3,也可以不考慮.
③當a<0時,有:x4=1-2a,
x5=|x4-x3|=|(1-2a)-(1-a)|=|-a|=-a,
同樣存在上述②的情況.
綜上:當a=1時,數(shù)列{xn}=1,1,0,1,1,0,1,1,0…,
它滿足:xm+3=xm,即最小周期為3,
它從第一項起,每三項之和為1+1+0=2,則:
2008
3
=669…1
,
∴數(shù)列的前2008項和S2008=669×2+1=1339.
故選D.
點評:本題考查數(shù)列的遞推公式的應用,解題時要認真審題,注意分類討論思想的靈活運用.解題時要多次進行分類討論,容易出錯.一定要細心計算,避免錯誤.
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A.669
B.670
C.1339
D.1340

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