Question

已知函數(shù)f（x）=（1+a）^|x|（a＞-1，a∈R）．
（1）若f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)時，記a_n=n•f（n），數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求證：；
（3）當(dāng)a=2且x∈[m，n]，f（x）∈[1，9]時，探求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)f（x）=（1+a）^x為增函數(shù)，則1+a＞1，從而求出a的范圍；
（2）當(dāng)時，，然后利用錯位相消法求出S_n，再根據(jù){S_n}遞增，即可求出S_n的范圍；
（3）當(dāng)a=2時，f（x）=3^|x|為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，由x∈[m，n]，f（x）∈[1，9]及圖象可得：或，然后分別在兩種情況下利用基本不等式和二次函數(shù)求出取值范圍即可．
解答：解：（1）當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）=（1+a）^x為增函數(shù)，⇒1+a＞1⇒a＞0--------------（3分）
（2）當(dāng)時，--------------（4分）
，錯位相減可得：-----（8分）
顯然------------（9分）
又，n≥2時，，所以，{S_n}遞增，
綜上，------------（10分）
（3）當(dāng)a=2時，f（x）=3^|x|為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱．
由x∈[m，n]，f（x）∈[1，9]及圖象可得：或
若，則=，令n+1=t∈[1，3]，
所以=-------------（14分）
若，則=-------------（18分）
點評：本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了利用基本不等式和二次函數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于中檔題．