Question

（2013•萊蕪二模）已知函數(shù)f(x)=2

2

cos(x+

π

4

)cos(x-

π

4

)+2

2

sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）在給出的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=f（x）在[0，π]上的圖象，并說明y=f（x）的圖象是由y=sin2x的圖象怎樣變換得到的．

Answer 1

分析：（I）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為2sin（2x+

π

4

），由此可得它的最小正周期及最大值．
（Ⅱ）用五點(diǎn)法作出函數(shù)y=2sin（2x+

π

4

）在一個(gè)周期上的圖象．

解答：解：（I） 函數(shù)f(x)=2

2

cos(x+

π

4

)cos(x-

π

4

)+2

2

sinxcosx 
=2

2

（cosxcos

π

4

-sinxsin

π

4

）（cosxcos

π

4

+sinxsin

π

4

）+

2

sin2x
=2

2

（

1

2

cos²x-

1

2

sin²x）+

2

sin2x=

2

cos2x+

2

sin2x=2sin（2x+

π

4

）．
故f（x）的最小正周期為

2π

2

=π，最大值為2．
（Ⅱ）列表：

x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8
2x+ π 4	π 4	π 2	π	3π 2	2π	9π 4
f（x）	2	2	0	-2	0	2

如圖所示：

把y=sin2x的圖象向左平移

π

8

個(gè)單位，再把所得圖象上所有的點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)不變，即得函數(shù)f（x）的圖象．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性和最值，用五點(diǎn)法作出函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在一個(gè)周期上的圖象，屬于中檔題．