Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁，側(cè)棱與底面垂直，P，Q分別是棱BB₁，CC₁上的點(diǎn)，AB⊥A₁Q，AC=2

3

，AA1=3，AB=

6

．
（1）求證：AC⊥A₁P；
（2）若M是△A₁PQ的重心，AM⊥面A₁PQ，求平面A₁PQ與面BCC₁B₁所成角（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要證：AC⊥A₁P，只需證AC⊥平面ABB₁A₁，要證AC⊥平面ABB₁A₁，由側(cè)棱與底面垂直與AB⊥A₁Q，可得AB⊥平面ACC₁A₁，可得AC⊥AB，即可得證．
（2）若M是△A₁PQ的重心，AM⊥面A₁PQ，求平面A₁PQ與面BCC₁B₁所成角（銳角）的余弦值．只需求出兩個平面的法向量，即可求得．

解答：解：（1）由已知AA₁⊥AB，又AB⊥A₁Q，∵AB⊥面AA₁C₁C，∴AB⊥AC，
又∵AC⊥AA₁，∴AC⊥面AA₁B₁B，∴AC⊥A₁P
（2）以AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
設(shè)BP=z₁，CQ=z₂，則P(

6

，0，z1)，Q(0，2

3

，z2)，A1(0，0，3)，A（0，0，0）
又M是△A₁PQ的重心，可得M(

6?

3

，

2 3?

3

，

3+z1+z2

2

)
∴

AM

=(

6?

3

，

2 3?

3

，

3+z1+z2

2

)，
又

A1P

=(

6?

，0，z，-3)，

A1Q

=(0，2

3?

，z2-3)
∵

AM

⊥

A1P

，

AM

⊥

A1Q

，
∴

6 3 + (3+z1+z2)(z1-3) 3 =0 12 3 + (3+z1+z2)(z2-3) 3 =0

得

z1=2 z2=1

或

z1=1 z2=-1

（舍）
∴面A₁PQ的法向量為

AM

=(

6

3

，

3 3

2

，2)，
又面BB₁C₁C的一個法向量是(

1

6

，

1

2 3

，0)
∴面A₁PQ與面BCC₁B₁夾角θ的余弦值cosθ=

2 3

6 9 + 12 9 +4 1 6 + 1 12

=

2 6

9

．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生對線面垂直的判定與性質(zhì)的理解與掌握，和用向量知識解決立體幾何問題的能力和空間想象能力．