Question

從空間中一點(diǎn)P引三條射線PA，PB，PC，且三條射線兩兩成60°角，則二面角A-PB-C的平面角的余弦值是（　�。�

• A、

  1

  3

• B、

  2

  3

• C、-

  1

  3

• D、-

  2

  3

Answer 1

分析：在射線PB上取一點(diǎn)M，過M作MA、MC垂直于PB分別相交射線PA、PC于點(diǎn)A、C，連接AC在△ACM中，作AN垂直于CM于點(diǎn)N，∠AMN就是二面角A-PB-C的平面角，解三角形AMN，即可得到二面角A-PB-C的余弦．

解答：解：在射線PB上取一點(diǎn)M，過M作MA、MC垂直于PB分別相交射線PA、PC于點(diǎn)A、C，
所以∠AMC就是二面角A-PB-C的平面角，連接AC，
由圖可得，在直角△PAM中，∠APM=60°，令PM=a，則AP=2a，AM=

3

a，
同理，在直角△PCM中，∠CPM=60°，令PM=a，則CP=2a CM=

3

a．
因?yàn)椤螦PC=60°，PA=PC=2a，
所以△PAC為等邊三角形，即AC=2a．
在△ACM中，作AN垂直于CM于點(diǎn)N，
令MN=b，CN=

3

a-b，AN=x，
由勾股定理可得，在△AMN中有：（

3

a）²-x²=b²；
在△ACN中有：（2a）²-x²=（

3

a-b）²，
聯(lián)合兩式消去x整理的，a=

3

b，即

b

a

=

3

3

，

b

3 a

=

1

3

，
所以二面角A-PB-C的余弦值是

1

3

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，其中作出二面角的平面角是解答本題的關(guān)鍵．