Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BB₁⊥底面ABC，D為棱AC的中點，E為棱A₁C₁的中點，且AB=BC=BB₁=1．
（1）求證：CE∥平面BA₁D．
（2）求二面角A₁-BD-C的余弦值．
（3）棱CC₁上是否存在一點P，使PD⊥平面A₁BD，若存在，試確定P點位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：方法一：（幾何法）（1）由已知中E、D分別是A₁C₁和AC的中點，根據(jù)三角形中位線定理可得A₁E∥CD且A₁E=CD，進而由平行四邊形的性質(zhì)得到CE∥A₁D，再由線面平行的判定定理可得CE∥平面BA₁D．
（2）由BB₁⊥底面ABC，結(jié)合直三棱柱的幾何特征得AA₁⊥BD，由已知中AB=BC=1且D為AC的中點，由等腰三角形三線合一，得到BD⊥AC，則BD⊥平面A₁ACC₁，進而可得∠A₁DA為所求二面角A₁-BD-C的平面角的補角，解Rt△A₁AD，求出∠A₁DA的余弦，進而即可得到二面角A₁-BD-C的余弦值．
（3）取P為CC₁中點，由（2）中結(jié)論，我們易證得PD⊥A₁D，BD⊥PD，再由線面垂直的判定定理即可得到答案．
方法二：（向量法）（1）以B為坐標原點，射線BC為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系B-xyz，分別求出CE的方向向量和平面BA₁D的法向量，再由它們的數(shù)量積為0，兩向量垂直，得到CE∥平面BA₁D．
（2）求出平面BCD的一個法向量，結(jié)合（1）中平面BA₁D的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角A₁-BD-C的余弦值，但要注意二面角是一個鈍二面角．
（3）設(shè)P（1，0，z），則PD的方向向量為平面A₁BD的法向量，由此構(gòu)造關(guān)于z的方程組，解方程求出z的值，即可確定P點的位置．

解答：解：方法一：（幾何法）
證明：（1）因為E、D分別是A₁C₁和AC的中點，則A₁E∥CD且A₁E=CD，
則CE∥A₁D…．（2分），而CE?平面BA₁D，A₁D?平面BA₁D，則CE∥平面BA₁D…（4分）
解：（2）因為B₁B⊥平面ABC，故A₁A⊥平面ABC，所以AA₁⊥BD
又AB=BC=1且D為AC的中點，故BD⊥AC，
而AA₁∩AC=A，BD⊥平面A₁ACC₁
所以A₁D⊥BD，AD⊥BD
故∠A₁DA為所求二面角A₁-BD-C的平面角的補角．…（6分）
在Rt△A₁AD中，A1D=

12+( 2 2 )2

=

6

2

所以cos∠A1DA=

AD

A1D

=

3

3

故所求二面角的余弦值為cos(π-∠A1DA)=-

3

3

…（8分）
（3）P為CC₁中點時，即PC=

1

2

，PD⊥平面A₁BD．
因為tan∠A1DA=

AA1

AD

=

1

2 2

=

2

，所以tan∠A1DA•tan∠PDC=

2

•

1 2

2 2

=1
即∠A₁DA+∠PDC=90°，即∠A₁DP=90°，即PD⊥A₁D…（10分）
由（2）知，BD⊥平面A₁ACC₁，PD?平面A₁ACC₁
所以BD⊥PD，又BD∩A₁D=D．
所以PD⊥平面A₁BD．…（12分）
方法二：（向量法）
證明：（1）以B為坐標原點，射線BC為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系B-xyz
則A（0，1，0），C（1，0，0），D(

1

2

，

1

2

，0)，B₁（0，0，1），A₁（0，1，1），C₁（1，0，1），E(

1

2

，

1

2

，1)
設(shè)平面A₁BD的一個法向量n₁=（x，y，z）
又

BA1

=(0，1，1)

BD

=(

1

2

，

1

2

，0)

n1• BA1 =0 n11• BD =0

令x=1可得n₁n₁=（1，-1，1）…（2分）

CE

=(-

1

2

，

1

2

，1)，n1•

CE

=0
又因為CE?平面A₁BD，故CE∥平面BA₁D．     …（4分）
解：（2）又平面BDC的一個法向量為n₂=（0，0，1），平面A₁BD的一個法向量n₁=（1，-1，1）…（6分）
設(shè)二面角A₁-BD-C的大小為θ，可知θ為鈍角，
故cosθ=-

|n1n1•n2|

|n1n1||n2n2|

=-

3

3

…（8分）
（3）設(shè)P（1，0，z）則

DP

=(

1

2

，-

1

2

，z)…（9分）
要使PD⊥平面A₁BD，則需

DP • BD =0 DP • BA1 =0

…（10分）
可得z=

1

2

，故P(1，0，

1

2

)
即當(dāng)P是C₁C的中點時，
所以PD⊥平面A₁BD．…（12分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中幾何法的解答要點是熟練掌握空間直線與平面位置關(guān)系的定義、判定、性質(zhì)，建立良好的空間想像能力，而向量法的關(guān)鍵是建立空間坐標系，求出對應(yīng)直線的方向向量和平面的法向量，將空間直線與平面的平行、垂直、夾角問題，轉(zhuǎn)化為向量的平行、垂直、夾角問題．