Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，令b_n=a_na_n+1，數(shù)列的前n項和為T_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）求證：

Answer 1

【答案】分析：（1）∵等差數(shù)列{a_n}中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，故不難構(gòu)造關(guān)于首項和公差的方程組，解方程組求出基本項（首項與公差）不難得到數(shù)列的通項公式，
（2）由（1）的結(jié)論，及b_n=a_na_n+1，可以給數(shù)列的通項公式及前n項和為T_n的表達(dá)式，再利用不等式的方法易證．
解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₃=7，a₁+a₂+a₃=12
∴
解得
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=3n-2（n∈N^*）
（2）∵b_n=a_na_n-1，
∴b_n=（3n-2）（3n+1）
∴
∴數(shù)列的前n項和
]
=
＜
點評：方程思想是解決數(shù)列問題的基本思想，通過公差列方程（組）來求解基本量是數(shù)列中最基本的方法，同時在解題中也要注意數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用．如果數(shù)列的通項公式為的形式時，常使用拆項法將數(shù)列的一項分解為的形式，利用相鄰項之間的正負(fù)項可以抵消來簡化數(shù)列的前n項和表達(dá)式．