Question

已知a、b、c分別為△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，ccosA=b
（I）求角C的大小，
（II）求sinA+sinB的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用正弦定理化簡已知的等式，再由三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式得到sinB=sin（A+C），代入化簡后的等式，根據(jù)兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后得到sinAcosC=0，由A為三角形的內(nèi)角，得到sinA不為0，可得cosC為0，進(jìn)而利用特殊角的三角函數(shù)值可得C為直角；
（II）由C為直角，可得A與B互余，可得sinB=cosA，代入所求的式子中，提取，利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)A為銳角，得到這個(gè)角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得此時(shí)正弦函數(shù)的值域，進(jìn)而確定出所求式子的范圍．
解答：解：（I）由正弦定理==2R得：c=2RsinC，b=2RsinB，
∴ccosA=b變形為：2RsinCcosA=2RsinB，即sinCcosA=sinB，
又sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C），
∴sinCcosA=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
即sinAcosC=0，
又A和C為三角形的內(nèi)角，
∴A≠0，即sinA≠0，
∴cosC=0，
則C=；
（II）∵C=，∴A+B=，
∴B=-A，
則sinA+sinB
=sinA+sin（-A）
=sinA+cosA
=sin（A+），
∵A∈（0，），∴A+∈（，），
∴sin（A+）∈（，1]，
則sin（A+）∈（1，]，即sinA+sinB∈（1，]．
點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．