Question

若0＜a，b，c＜1，且滿足ab+bc+ca=1，求

1

1-a

+

1

1-b

+

1

1-c

的最小值．

Answer 1

∵0＜a，b，c＜1
∴1-a，1-b，1-c∈（0，1）
∵

1

1-a

+

1

1-b

+

1

1-c

[（1-a）+（1-b）+（1-c）]
=1+

1-b

1-a

+

1-c

1-a

+1+

1-a

1-b

+

1-c

1-b

+1+

1-a

1-c

+

1-b

1-c

=3+(

1-b

1-a

+

1-a

1-b

)+(

1-c

1-a

+

1-a

1-c

)+(

1-c

1-b

+

1-b

1-c

)
≥3+2

(1-b)(1-a) (1-a)(1-b)

+2

(1-c)(1-a) (1-a)(1-c)

+2

(1-c)(1-b) (1-b)(1-c)

=9
當且僅當a=b=c=

3

3

取等號
∴

1

1-a

+

1

1-b

+

1

1-c

≥

9

3-(a+b+c)

又∵2（a+b+c）²=（a²+b²）+（b²+c²）+（c²+a²）+4ab+4ac+4bc
≥2ab+2ac+2bc+4ab+4ac+4bc=6（ab+ac+bc）=6
∴a+b+c≥

3

∴3-(a+b+c)≤3-

3

∴

9

3-(a+b+c)

≥

9

3- 3

=

9-3 3

3

1

1-a

+

1

1-b

+

1

1-c

≥

9

3-(a+b+c)

≥

9-3 3

2

（當且僅當a=b=c=

3

3

）時取等號
故

1

1-a

+

1

1-b

+

1

1-c

的最小值

9-3 3

2