Question

13．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AC=AA₁=4，∠ABC=90°；
（1）求三棱錐B₁-A₁BC₁的體積V；
（2）求異面直線A₁B與AC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）三棱錐B₁-A₁BC₁的體積V=${V}_{B-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，由此能求出結(jié)果．
（2）以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線A₁B與AC所成角的余弦值．

解答 解：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AC=AA₁=4，∠ABC=90°，
∴△A₁B₁C₁的面積S=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴三棱錐B₁-A₁BC₁的體積：
V=${V}_{B-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×S×A{A}_{1}$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×4$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
（2）以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則A₁（2，0，4），A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，2$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-2，0，-4），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2$\sqrt{3}$，0），
設異面直線A₁B與AC所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{4}{\sqrt{20}•\sqrt{16}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
∴異面直線A₁B與AC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

點評 本題考查三棱錐的體積的求法，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．