Question

 1895年，在倫敦有100塊男性頭蓋骨被挖掘出土，經(jīng)考證，頭蓋骨的主人死于1665-1666年之間的大瘟疫．人類學(xué)家分別測量了這些頭蓋骨的寬度，得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）求圖中m的值，并估計(jì)當(dāng)年英國男性頭蓋骨寬度的中位數(shù)（填寫下表）：

m	中位數(shù)

（Ⅱ）若從[140，145）、[145，150）兩組中用分層抽樣的方法抽取5塊頭蓋骨做深層檢測，則從這兩組中應(yīng)抽取的塊數(shù)分別是多少？
（Ⅲ）專家要從深層檢測過的頭蓋骨中隨機(jī)抽取兩塊進(jìn)行復(fù)原，求被抽中的兩塊中至少有[145，150）組中一塊的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式,分層抽樣方法,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）由已知的頻率分布直方圖，先根據(jù)各組頻率和（矩形面積和）為1，確定第三組數(shù)據(jù)對應(yīng)矩形的高m，進(jìn)而求出各組的頻率，再根據(jù)中位數(shù)平分矩形面積，得到競賽成績的中位數(shù)；
（II）先計(jì)算[140，145）、[145，150）兩組的頻數(shù)，進(jìn)而求出抽樣比，可得從這兩組中應(yīng)抽取的塊數(shù)；
（III）分別計(jì)算從深層檢測過的頭蓋骨中隨機(jī)抽取兩塊的基本事件總數(shù)及兩塊中至少有[145，150）組中一塊的基本事件個(gè)數(shù)，代入古典概型概率計(jì)算公式，可得答案．

解答： 解：（I）設(shè)第三組數(shù)據(jù)對應(yīng)矩形的高為m，
則5×（0.01+0.07+m+0.06+0.02）=1，
解得a=0.04，
故各組的頻率依次為：0.05，0.35，0.20，0.30，0.10，
∵前兩組的累積頻率為：0.05+0.35=0.40，
前三組的累積頻率為：0.05+0.35+0.20=0.60，
故這次環(huán)保知識競賽成績的中位數(shù)為140+

5

2

=

285

2

；
（II）第3組的塊數(shù)為：5×0.04×100=20塊，
第4組的塊數(shù)為：5×0.06×100=30塊，
用分層抽樣的方法抽取5塊頭蓋骨做深層檢測，
則抽樣比k=

5

20+30

=

1

10

，
故第3組應(yīng)抽�。�20×

1

10

=2塊，
故第4組應(yīng)抽�。�30×

1

10

=3塊，
（III）從深層檢測過的5塊頭蓋骨中隨機(jī)抽取兩塊，共有

C

2 5

=10種不同情況；
其中被抽中的兩塊中至少有[145，150）組中一塊有：

C

1 2

•

C

1 3

+

C

2 3

=9種情況，
故被抽中的兩塊中至少有[145，150）組中一塊的概率P=

9

10

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是古典概型概率計(jì)算公式，其中熟練掌握利用古典概型概率計(jì)算公式求概率的步驟，是解答的關(guān)鍵．