Question

已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=5，a_n=2a_n-1-a_n-2+4（n≥3）．
（1）求證：數(shù)列{a_n-a_n-1}（n≥2）是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）已知式子變形可得（a_n-a_n-1）-（a_n-1-a_n-2）=4，可得數(shù)列{a_n-a_n-1}是公差為4等差數(shù)列；
（2）進而可得數(shù)列{a_n-a_n-1}（n≥2）是公差為4，首項為3的等差數(shù)列，可得a_n-a_n-1=4n-1，累加法可得．

解答： 解：（1）∵當n≥3時，a_n=2a_n-1-a_n-2+4，
∴（a_n-a_n-1）-（a_n-1-a_n-2）=4
∴數(shù)列{a_n-a_n-1}（n≥2）是公差為4等差數(shù)列；
（2）∵a₁=2，a₂=5，∴a₂-a₁=5-2=3，
∴數(shù)列{a_n-a_n-1}（n≥2）是公差為4，首項為3的等差數(shù)列，
∴a_n-a_n-1=3+4（n-1）=4n-1，
∴a₂-a₁=7，a₃-a₂=11，…a_n-a_n-1=4n-1，
以上n-1個式子相加可得a_n-a₁=

(n-1)(7+4n-1)

2

，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n²+n-1

點評：本題考查等差數(shù)列的判定和數(shù)列的遞推公式，屬基礎(chǔ)題．