Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+

1-x

1+x

．
（1）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)p≥q＞0，求證：ln

p

-ln

q

≥

p-q

p+q

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′(x)=

a

x

-

2

(1+x)2

=

a(1+x)2-2x

x(1+x)2

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合已知條件能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）證要證

p

-ln

q

≥

p-q

p+q

，只需證

1

2

ln

p

q

+

1- p q

1+ p q

≥0．構(gòu)造h（x）=

1

2

lnx+

1-x

1+x

，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明當(dāng)p≥q＞0，ln

p

-ln

q

≥

p-q

p+q

成立．

解答： （1）解：∵f（x）=alnx+

1-x

1+x

，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′(x)=

a

x

-

2

(1+x)2

=

a(1+x)2-2x

x(1+x)2

，．
∵f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即a（1+x）²-2x≥0在（0，+∞）上恒成立．
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，由a（1+x）²-2x≥0得a≥

2x

(1+x)2

．
設(shè)g（x）=

2x

(1+x)2

=

2

x+ 1 x +2

，x＞0，∴g（x）≤

1

2

（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），
∴a≥

1

2

，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[

1

2

，+∞）．
（2）證明：要證ln

p

-ln

q

≥

p-q

p+q

，只需證

lnp-lnq

2

≥

p-q

p+q

，
只需證

1

2

ln

p

q

≥

p q -1

p q +1

，只需證

1

2

ln

p

q

+

1- p q

1+ p q

≥0．
設(shè)h（x）=

1

2

lnx+

1-x

1+x

，由（1）知h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
又

p

q

≥1，∴h(

p

q

)≥h(1)=0，即

1

2

ln

p

q

+

1- p q

1+ p q

≥0成立，
∴當(dāng)p≥q＞0，ln

p

-ln

q

≥

p-q

p+q

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．