Question

7．已知四棱錐P-ABCD的底面為平行四邊形，高為h，過底面一邊BC作截面，與側(cè)面PAQ交于EF，若截面將棱錐分成體積相等的兩部分，
（I）求證：EF∥平面ABCD；
（II）求EF到底面ABCD的距離．

Answer 1

分析 （I）利用四邊形ABCD為平行四邊形，可得 BC∥AD，再利用線面平行的判定與性質(zhì)定理即可證明．
（II）設(shè)EF到底面ABCD的距離為x．連接BF，BD，ED，則x分別是三棱錐E-ABD和F-BCD的高，設(shè)平行四邊形ABCD的底面面積為S，利用“等體積法”可得：${V_{E-ABD}}={V_{F-BCD}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}S×x=\frac{xS}{6}$．同理可得 ${V_{B-DEF}}=\frac{h-x}{h}×\frac{xS}{6}=\frac{{xS（{h-x}）}}{6h}$．于是多面體FEABCD的體積$V={V_{E-ABD}}+{V_{F-BCD}}+{V_{B-DEF}}=\frac{xS}{6}+\frac{xS}{6}+\frac{{（{h-x}）xS}}{6h}=\frac{{（{3h-x}）xS}}{6h}$=$\frac{1}{2}{V}_{P-ABCD}$．即可得出．

解答 （I）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形
∴BC∥AD，又BC?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BC∥面PAD．
又∵截面BCEF∩面PAD=EF，EF?平面ABCD，
∴EF∥面ABCD．
（II）解：設(shè)EF到底面ABCD的距離為x．
連接BF，BD，ED，則x分別是三棱錐E-ABD和F-BCD的高，
設(shè)平行四邊形ABCD的底面面積為S，則${V_{E-ABD}}={V_{F-BCD}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}S×x=\frac{xS}{6}$．
∵三棱錐B-ADE與三棱錐B-DEF等高，而△ADE與△DEF也等高，
∴$\frac{{{V_{B-DEF}}}}{{{V_{B-ADE}}}}=\frac{{{S_{△DEF}}}}{{{S_{△ADE}}}}=\frac{EF}{AD}=\frac{PE}{PA}=\frac{h-x}{h}$，
∴${V_{B-DEF}}=\frac{h-x}{h}×\frac{xS}{6}=\frac{{xS（{h-x}）}}{6h}$．
∴多面體FEABCD的體積$V={V_{E-ABD}}+{V_{F-BCD}}+{V_{B-DEF}}=\frac{xS}{6}+\frac{xS}{6}+\frac{{（{h-x}）xS}}{6h}=\frac{{（{3h-x}）xS}}{6h}$．
由$V=\frac{1}{2}{V_{P-ABCD}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×h×S=\frac{hS}{6}$可得：$\frac{hS}{6}=\frac{{（{3h-x}）xS}}{6h}$．
解之，得$x=\frac{{3±\sqrt{5}h}}{2}$．
∵$\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}h＞h$，故應(yīng)舍去，
∴所求距離為$\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}h$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、距離的計(jì)算、線線線面平行的判定與性質(zhì)定理、等體積法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．