Question

如圖，已知點(diǎn)A（10，0），直線x=t（0＜t＜10）與函數(shù)y=e^2x+1的圖象交于點(diǎn)P，與x軸交于點(diǎn)H，記△APH的面積為f（t）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（t）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（t）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（ I）由題意設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，來(lái)表示AH，PH的大小，計(jì)算出△APH的面積f（t）=

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•AH•PH；
（ II）求f（t）的導(dǎo)函數(shù)f，（t），令f'（t）=0，求得f'（t）＞0、＜0的t的取值范圍，從而求得f（t）的最大值．

解答： 解：（ I）由題意點(diǎn)P（x，y），則x=t，y=e^2t+1，其中0＜t＜10，
∴AH=10-t，PH=e^2t+1，
所以△APH的面積為f（t）=

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•AH•PH=

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（10-t）e^2t+1，其中0＜t＜10．
（ II）∵f（t）=

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（10-t）e^2t+1，其中0＜t＜10．
∴f′（t）=-

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e^2t+1+

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×（10-t）×2e^2t+1=e^2t+1（19-2t），
由f'（t）=0，得t=9.5，
函數(shù)f（t）與f′（t）在定義域上的情況下表：

t	（0，9.5）	9.5	（9.5，10）
f′（t）	+	0	-
f（t）	↗	極大值	↘

所以當(dāng)t=9.5時(shí)，函數(shù)f（t）取得最大值t=

1

4

e20．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中有利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問(wèn)題，屬于中檔題．