Question

某軍工企業(yè)生產(chǎn)一種精密電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：R（x）=

400x- 1 2 x2 ，0≤x≤400 80000 ，x＞400

其中x是儀器的月產(chǎn)量．
（1）將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)；
（2）當月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少元？（總收益=總成本+利潤．）

Answer 1

分析：（1）先設月產(chǎn)量為x臺，寫出總成本進而得出利潤函數(shù)的解析式；
（2）分兩段求出函數(shù)的最大值：當0≤x≤400時，和當x＞400時，最后得出當月產(chǎn)量為多少臺時，公司所獲利潤最大及最大利潤即可．

解答：解：（1）設月產(chǎn)量為x臺，則總成本為20000+100x，
從而利潤f(x)=

- 1 2 x2+300x-20000，0≤x≤400 60000-100x，x＞400.

（2）當0≤x≤400時，f（x）=-

1

2

(x-300)2+25000，
所以當x=300時，有最大值25000；
當x＞400時，f（x）=60000-100x是減函數(shù)，
所以f（x）=60000-100×400＜25000．
所以當x=300時，有最大值25000，
即當月產(chǎn)量為300臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是25000元．

點評：函數(shù)模型為分段函數(shù)，求分段函數(shù)的最值，應先求出函數(shù)在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個函數(shù)的最大值，取各部分的最小者為整個函數(shù)的最小值．