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已知在公差不為0的等差數列{an}中,a1=4,其前n項和為Sn,又a1,a7,a10成等比數列.
(1)若Sn=11,求n的值;
(2)設bn=
1
anan+1
(n≤11且n∈N*),數列{bn}前項和為Tn,求滿足條件Tn
9
4
的n的最大值.
考點:數列與不等式的綜合,等比數列的性質
專題:綜合題,等差數列與等比數列
分析:(1)先求出公差,再利用Sn=11,求n的值;
(2)求出an=
13-n
3
,可得bn=
1
anan+1
=
9
(13-n)(12-n)
=9(
1
12-n
-
1
13-n
),利用裂項法求和,即可an=
13-n
3
,
∴bn=
1
anan+1
=
9
(13-n)(12-n)
=9(
1
12-n
-
1
13-n
),
解答: 解:(1)∵a1,a7,a10成等比數列,
∴(4+6d)2=4(4+9d),
∵公差不為0,
∴d=-
1
3

∴Sn=4n+
n(n-1)
2
×(-
1
3
)
=11,可得 n2-25n+66=0 (n-3)(n-22)=0,
所以n=3或n=22;
(2)∵a1=4,d=-
1
3

∴an=
13-n
3
,
∴bn=
1
anan+1
=
9
(13-n)(12-n)
=9(
1
12-n
-
1
13-n
),
∴Tn=9(
1
11
-
1
12
+
1
10
-
1
11
+…+
1
12-n
-
1
13-n
)=9(
1
12-n
-
1
12

由Tn
9
4
,可得9(
1
12-n
-
1
12
)<
9
4
,
∴n<9,
∴滿足條件Tn
9
4
的n的最大值為8.
點評:本題考查數列的通項與求和,考查數列與不等式的綜合,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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x2+1
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π
2
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3
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