Question

已知在公差不為0的等差數列{a_n}中，a₁=4，其前n項和為S_n，又a₁，a₇，a₁₀成等比數列．
（1）若S_n=11，求n的值；
（2）設b_n=

1

anan+1

（n≤11且n∈N^*），數列{b_n}前項和為T_n，求滿足條件T_n＜

9

4

的n的最大值．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,等比數列的性質

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）先求出公差，再利用S_n=11，求n的值；
（2）求出a_n=

13-n

3

，可得b_n=

1

anan+1

=

9

(13-n)(12-n)

=9（

1

12-n

-

1

13-n

），利用裂項法求和，即可a_n=

13-n

3

，
∴b_n=

1

anan+1

=

9

(13-n)(12-n)

=9（

1

12-n

-

1

13-n

），

解答： 解：（1）∵a₁，a₇，a₁₀成等比數列，
∴（4+6d）²=4（4+9d），
∵公差不為0，
∴d=-

1

3

．
∴S_n=4n+

n(n-1)

2

×(-

1

3

)=11，可得 n²-25n+66=0 （n-3）（n-22）=0，
所以n=3或n=22；
（2）∵a₁=4，d=-

1

3

．
∴a_n=

13-n

3

，
∴b_n=

1

anan+1

=

9

(13-n)(12-n)

=9（

1

12-n

-

1

13-n

），
∴T_n=9（

1

11

-

1

12

+

1

10

-

1

11

+…+

1

12-n

-

1

13-n

）=9（

1

12-n

-

1

12

）
由T_n＜

9

4

，可得9（

1

12-n

-

1

12

）＜

9

4

，
∴n＜9，
∴滿足條件T_n＜

9

4

的n的最大值為8．

點評：本題考查數列的通項與求和，考查數列與不等式的綜合，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．