在平面直角坐標系xoy中，拋物線y＝x2上異于坐標原點O的兩不同動點A、B滿足AO⊥BO(如圖所示)．

(1)求△AOB得重心G(即三角形三條中線的交點)的軌跡方程；

(2)△AOB的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)設△AOB的重心為G(x，y)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則　　(1)

　　∵OA⊥OB ∴kOA·kOB＝－1，即x1x2＋y1y2＝－1　　(2)

　　又點A，B在拋物線上，有y1＝x21，y2＝x22，代入(2)化簡得x1x2＝－1．

　　∴y＝[(x1＋x2)2－2x1x2]＝×(3x)2＋＝3x2＋

　　所以重心為G的軌跡方程為y＝3x2＋；

　　(2)S△AOB＝OA·OB＝，

　　由(Ⅰ)得S△AOB＝×2＝1，當且僅當即x1＝－x2＝－1時，等號成立．

　　所以△AOB的面積存在最小值，存在時求最小值1．

　　分析：本題首先假設相關的點的坐標，然后利用已知條件列出相關的方程，注意觀察各方程間的關系，進行消元而達到目的．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標原點O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足PF=4，求點P的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．若點A的橫坐標是
3
5
，點B的縱坐標是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設直線AC與BD的交點為P，求動點P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的上下頂點分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點，直線QA1，QA2分別交x軸于點S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

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