Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}，其中，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²a_n（n≥1），數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1=2b_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在自然數(shù)m，使得對(duì)于任意n∈N^*，n≥2，有恒成立？若存在，求出m的最小值；
（Ⅲ）若數(shù)列{c_n}滿足當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)镾_n=n²a_n（n≥1），
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=（n-1）²a_n-1．
所以a_n=S_n-S_n-1=n²a_n-（n-1）²a_n-1．
所以（n+1）a_n=（n-1）a_n-1．
即．
又，
所以==．
當(dāng)n=1時(shí)，上式成立
因?yàn)閎₁=2，b_n+1=2b_n，
所以{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故b_n=2ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=2ⁿ．
則．
假設(shè)存在自然數(shù)m，使得對(duì)于任意n∈N^*，n≥2，有恒成立，
即恒成立．
由，解得m≥16．
所以存在自然數(shù)m，使得對(duì)于任意n∈N^*，n≥2，有恒成立．此時(shí)m的最小值為16．
（Ⅲ）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，
=（2+4++n+1）+（2²+2⁴++2^n-1）=
=．
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，
=（2+4++n）+（2²+2⁴++2ⁿ）==．
因此
分析：（Ⅰ）根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．b₁=2，b_n+1=2b_n可知{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）b_n=2ⁿ．假設(shè)存在自然數(shù)m，使得對(duì)于任意n∈N^*，n≥2，有恒成立，由此能導(dǎo)出m的最小值．
（Ⅲ）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，，由此能推導(dǎo)出當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．
點(diǎn)評(píng)：本題是考查數(shù)列知識(shí)的綜合運(yùn)用題，難度較大，在解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)作答．