Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=0，且對(duì)任意k∈N*，a_2k-1，a_2k，a_k+1成等差數(shù)列，其公差為d_k
（1）若d_k=2k，證明a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比數(shù)列（k∈N*）；
（2）若對(duì)任意k∈N*，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比數(shù)列，其公比為q_k。
（i）設(shè)q₁≠1，證明是等差數(shù)列；
（ii）若a₂=2，證明。

Answer 1

解：（1）由題設(shè)，可得

所以

由a₁=0，得a_2k+1=2k（k+1）
從而，
于是
所以
所以d_k=2k時(shí)，對(duì)任意k∈N*，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比數(shù)列；
（2）（i）由a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差數(shù)列，及a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比數(shù)列，得2a_2k=a_2k-1+a_2k+1
2=+q_k
當(dāng)q₁≠1時(shí)，可知q_k≠1，k∈N*
從而
即
所以是等差數(shù)列，公差為1；
（ii）由a₁=0，a₂=2，可得a₃=4，從而
由（i）有得
所以
從而
因此

以下分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m（m∈N*）
若，則
若



所以
從而，
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m+1（m∈N*）



綜合①②可知，對(duì)任意n≥2，n∈N*，有。