AB是橢圓中不平行于對(duì)稱(chēng)軸的一條弦，M是AB的中點(diǎn)，O是橢圓的中心，求證：kAB•kOM為定值．
【答案】分析：設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x1+x2，的表達(dá)式，根據(jù)直線方程求得y1+y2的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，表示出M的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，求得直線OM的斜率，進(jìn)而代入kAB•kOM中求得結(jié)果為定值，原式得證．
解答：證明：設(shè)直線為：y=kx+c
聯(lián)立橢圓和直線消去y得
b2x2+a2（kx+c）2-a2b2=0，即 （b2+k2a2）x2+2a2kcx+a2（c2-b2）=0
所以：x1+x2=-
所以，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：Mx=（x1+x2）=-
又：y1=kx1+c
y2=kx2+c
所以y1+y2=k（x1+x2）+2c=
所以，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)My=（y1+y2）=
所以：Kom===-
所以：
kAB•kOM=k×=
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，利用弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理求解，涉及弦的中點(diǎn)及中點(diǎn)弦問(wèn)題，利用差分法較為簡(jiǎn)便．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

AB是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)中不平行于對(duì)稱(chēng)軸的一條弦，M是AB的中點(diǎn)，O是橢圓的中心，求證：kAB•kOM為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•鹽城一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（3
2
，
2
），橢圓的離心率e=
2
2
3
，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)M作兩直線與橢圓C分別交于相異兩點(diǎn)A、B．
①若直線MA過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，試求△MAF2外接圓的方程；
②若∠AMB的平分線與y軸平行，試探究直線AB的斜率是否為定值？若是，請(qǐng)給予證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（3
2
，
2
），橢圓的離心率e=
2
2
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)M作兩直線與橢圓C分別交于相異兩點(diǎn)A、B．若∠AMB的平分線與y軸平行，試探究直線AB的斜率是否為定值？若是，請(qǐng)給予證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：高二數(shù)學(xué) 教學(xué)與測(cè)試 題型：047

AB是橢圓(a＞b＞0)中不平行于對(duì)稱(chēng)軸且不過(guò)原點(diǎn)O的一條弦，M是AB的中點(diǎn)，求證：

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