Question

8．已知函數f（x）=x²e^-x，當曲線y=f（x）的切線斜率為負數時，求切線在x軸上截距的取值范圍（-∞，0）∪[2$\sqrt{2}$+3，+∞）．

Answer 1

分析 利用導數的幾何意義即可得到切線的斜率，得出切線的方程，利用方程求出與x軸交點的橫坐標，再利用導數研究函數的單調性、極值、最值即可．

解答 解：設切點為（x₀，${{x}_{0}}^{2}{e}^{-{x}_{0}}$），
則切線方程為y-${{x}_{0}}^{2}{e}^{-{x}_{0}}$=${e}^{-{x}_{0}}$（$2{x}_{0}-{{x}_{0}}^{2}$）（x-x₀），
令y=0，解得x=（x₀-2）+$\frac{2}{{x}_{0}-2}$+3，
∵曲線y=f（x）的切線l的斜率為負數，
∴${e}^{-{x}_{0}}$（$2{x}_{0}-{{x}_{0}}^{2}$）＜0，
∴x₀＜0或x₀＞2，
令f（x₀）=（x₀-2）+$\frac{2}{{x}_{0}-2}$+3，
則f′（x₀）=$\frac{（{{x}_{0}}^{2}-2）^{2}-2}{（{{x}_{0}}^{2}-2）^{2}}$．
①當x₀＜0時，$（{x}_{0}-2）^{2}-2$＞0，即f′（x₀）＞0，
∴f（x₀）在（-∞，0）上單調遞增，∴f（x₀）＜f（0）=0；
②當x₀＞2時，令f′（x₀）=0，解得x₀=2+$\sqrt{2}$．
當x₀＞2+$\sqrt{2}$時，f′（x₀）＞0，函數f（x₀）單調遞增；
當2＜x₀＜2+$\sqrt{2}$時，f′（x₀）＜0，函數f（x₀）單調遞減．
故當x₀=2+$\sqrt{2}$時，函數f（x₀）取得極小值，也即最小值，且f（2+$\sqrt{2}$）=2 $\sqrt{2}$+3．
綜上可知：切線l在x軸上截距的取值范圍是（-∞，0）∪[2 $\sqrt{2}$+3，+∞）．
故答案為（-∞，0）∪[2 $\sqrt{2}$+3，+∞）．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性、切線、函數的值域，綜合性強，考查了推理能力和計算能力．