Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到該拋物線的焦點(diǎn)的距離為5.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)C是拋物線上的動(dòng)點(diǎn).若以點(diǎn)C為圓心的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為4，求證：圓C過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

同下

解析:

（1）根據(jù)題意，拋物線y²＝2px的準(zhǔn)線方程為x＝－，且p＞0． …………2分

因?yàn)閽佄锞�上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，所以該點(diǎn)到準(zhǔn)線x＝－的距離也為5．所以p＝2．

故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²＝4x．        ……………………………………5分

（2）因?yàn)辄c(diǎn)C在拋物線上，故可設(shè)點(diǎn)C為(，t)．

所以點(diǎn)C到y軸的距離為．

因?yàn)閳AC在y軸上截得的弦長(zhǎng)為4，所以圓C的半徑r＝＝．

……………………………………………8分

所以圓C的方程為(x－)²＋(y－t)²＝()²．

即x²＋y²－x－2ty＋t²－4＝0． …………………………………………………………10分

（方法一）因?yàn)閳AC是動(dòng)圓．

所以當(dāng)t＝0時(shí)，圓C的方程為x²＋y²－4＝0，            ①

當(dāng)t＝2時(shí)，圓C的方程為x²＋y²－2x－4y＝0．       ②

聯(lián)立①②，得   解得或 ……………………14分

把(2，0)代入圓C方程，左邊＝2²＋0²－×2－2t×0＋t²－4＝0＝右邊，方程成立，所以圓C恒過(guò)定點(diǎn)(2，0)．

把(－，)代入圓C的方程得，左邊＝t²－t不恒為0，即隨著t的變化而變化．

故點(diǎn)(－，)可能不在圓C上．

所以圓C恒過(guò)定點(diǎn)(2，0)．       ………………………………………………………16分

（方法二）將方程x²＋y²－x－2ty＋t²－4＝0整理為

           (1－)t²－2yt＋(x²＋y²－4)＝0．   ①         ……………………14分

①式對(duì)任意實(shí)數(shù)t都成立的充要條件是   即

所以圓C恒過(guò)定點(diǎn)(2，0)．               …………………………………………16分