Question

已知函數(shù)f（x）=sinx，g（x）=mx-

x3

6

（m∈R）；
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)P（

π

4

，f（

π

4

））處的切線方程；
（2）求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若m=1，證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜g（x）+

x3

6

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求曲線y=f（x）在點(diǎn)P（

π

4

，f（

π

4

））處的切線方程；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)和單調(diào)性之間的關(guān)系即可求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若m=1，構(gòu)造函數(shù)h（x）=g（x）+

x3

6

-f（x），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可證明不等式．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinx，
∴f′（x）=cosx，
函數(shù)在點(diǎn)P（

π

4

，f（

π

4

））處的切線斜率k=f′（

π

4

）=cos

π

4

=

2

2

，
∵f（

π

4

）=sin

π

4

=

2

2

，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為（

π

4

，

2

2

），
則切線方程y-

2

2

=

2

2

（x-

π

4

），
即y=

2

2

x+

2

2

（1-

π

4

）．
（2）g′（x）=m-

3

6

x2=m-

1

2

x²=0，得x²=2m，
當(dāng)m≤0，g′（x）＜0，g（x） 單調(diào)遞減，
當(dāng)m＞0，
由g′（x）≤0，即g（x）單調(diào)遞減，解得x≤-

2m

或x≥

2m

，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-

2m

）或[

2m

，+∞）．
（3）m=1，g（x）=x-

x3

6

，
h（x）=g（x）+

x3

6

-f（x）=x-sinx，
h′（x）=1-cosx，
當(dāng)x＞0，cosx≤1，
∴h′（x）=1-cosx≥0，即函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x=0時(shí)，h（0）=0，
∴x＞0時(shí)，h（x）＞0，
即f（x）＜g（x）+

x3

6

成立．

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．