已知函數(shù)f(x)=sinx,g(x)=mx-
x3
6
(m∈R);
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)P(
π
4
,f(
π
4
))處的切線方程;
(2)求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(3)若m=1,證明:當(dāng)x>0時(shí),f(x)<g(x)+
x3
6
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求曲線y=f(x)在點(diǎn)P(
π
4
,f(
π
4
))處的切線方程;
(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)和單調(diào)性之間的關(guān)系即可求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(3)若m=1,構(gòu)造函數(shù)h(x)=g(x)+
x3
6
-f(x),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可證明不等式.
解答: 解:(1)∵f(x)=sinx,
∴f′(x)=cosx,
函數(shù)在點(diǎn)P(
π
4
,f(
π
4
))處的切線斜率k=f′(
π
4
)=cos
π
4
=
2
2
,
∵f(
π
4
)=sin
π
4
=
2
2
,∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(
π
4
,
2
2
),
則切線方程y-
2
2
=
2
2
(x-
π
4
),
即y=
2
2
x+
2
2
(1-
π
4
).
(2)g′(x)=m-
3
6
x2
=m-
1
2
x2=0,得x2=2m,
當(dāng)m≤0,g′(x)<0,g(x) 單調(diào)遞減,
當(dāng)m>0,
由g′(x)≤0,即g(x)單調(diào)遞減,解得x≤-
2m
或x≥
2m
,
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-
2m
)或[
2m
,+∞).
(3)m=1,g(x)=x-
x3
6

h(x)=g(x)+
x3
6
-f(x)=x-sinx,
h′(x)=1-cosx,
當(dāng)x>0,cosx≤1,
∴h′(x)=1-cosx≥0,即函數(shù)h(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x=0時(shí),h(0)=0,
∴x>0時(shí),h(x)>0,
即f(x)<g(x)+
x3
6
成立.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,考查學(xué)生的運(yùn)算能力.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=12x的準(zhǔn)線上,且雙曲線C的離心率等于
3
,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(  )
A、
y2
6
-
x2
3
=1
B、
x2
3
-
y2
6
=1
C、
y2
6
-
x2
9
=1
D、
y2
9
-
x2
6
=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為DD1、DB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:CF⊥EF;
(Ⅱ)求三棱柱B1-CEF的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知命題p:若
x-2
+(y+1)2=0,則x=2且y=-1.
(1)寫出p的否命題q,并判斷q的真假(不必寫出判斷過程);
(2)寫出p的逆否命題r,并判斷r的真假(不必寫出判斷過程).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=
2n+1an
(n+
1
2
)an+2n
(n∈N*
(1)設(shè)bn=
2n
an
,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=
1
n(n+1)an+1
,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn,不等式
1
4
m2-
1
4
m>Sn對(duì)一切n∈N*成立,求m得范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x+alnx-1,a∈R.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若2f(x)+
lnx
x
≥0對(duì)于任意x∈[1,+∞)恒成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

△ABC中,已知cosA=
3
5
,sinB=
5
13
,求sinC值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某種汽車購(gòu)車時(shí)費(fèi)用為10萬元,每年保險(xiǎn)、汽油等費(fèi)用為0.9萬元;汽車的維修費(fèi)用各年為:第一年0.2萬元,以后每年以0.2萬元的增量逐年遞增.
(1)寫出該種汽車使用n年后總費(fèi)用Sn的表達(dá)式
(2)問這種汽車使用多少年報(bào)廢最合算(平均費(fèi)用最少)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+
π
4
)圖象的最小正周期是π.
(1)求ω;
(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(3)函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換可得到y(tǒng)=f(x)的圖象?

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