Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁為單位正方體，黑白兩只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”，白螞蟻爬行的路線是AA₁→A₁D₁→…，黑螞蟻爬行的路線是AB→BB₁→…，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線（其中i是自然數(shù)），設(shè)黑、白螞蟻都走完2012段后各停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處，這時(shí)黑、白兩只螞蟻的距離是    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)題意，先通過(guò)前幾步爬行，觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過(guò)幾段后又回到起點(diǎn)，得到每爬6步回到起點(diǎn)，周期為6．再計(jì)算黑螞蟻爬完2012段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn)以及計(jì)算白螞蟻爬完2012段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn)，最后計(jì)算出它們的距離即可．
解答：解：由題意，白螞蟻爬行路線為AA₁→A₁D₁→D₁C₁→C₁C→CB→BA，
即過(guò)6段后又回到起點(diǎn)，可以看作以6為周期，
同理，黑螞蟻也是過(guò)6段后又回到起點(diǎn)．
而2012除以6等于335余2
所以黑螞蟻爬完2012段后回到B₁點(diǎn)，
同理，白螞蟻爬完2012段后到回到D₁點(diǎn)；
所以它們此時(shí)的距離為：B₁D₁=．
故答案為；  ．
點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)創(chuàng)新例子為載體，考查歸納推理的能力、空間想象能力、異面直線的定義等相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題目．