Question

設(shè)橢圓E中心在原點，焦點在x軸上，短軸長為4，點M（2，）在橢圓上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)動直線L交橢圓E于A、B兩點，且，求△OAB的面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出橢圓方程，確定b的值，代入M的坐標(biāo)，即可求得橢圓的方程；
（2）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，及使，需使x₁x₂+y₁y₂=0，表示出三角形的面積，進而可得△OAB的面積的取值范圍．
解答：解：（1）橢圓方程為（a＞b＞0），則b=2
將點M（2，），代入橢圓方程可得，∴a²=8
∴橢圓方程為；
（2）當(dāng)直線L斜率存在時，設(shè)方程為y=kx+m，代入橢圓方程，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
則△=8（8k²-m²+4）＞0，即8k²-m²+4＞0（*），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=
要使，需使x₁x₂+y₁y₂=0，即，所以①
將它代入（*）式可得k²∈[0，+∞）    
∵O到L的距離為d=
∴S=|AB|d=|x₁-x₂|•=|x₁-x₂|=
①當(dāng)k=0時，S=；
②當(dāng)AB的斜率不存在時，S=；
③當(dāng)k≠0時，S=
∵k²∈（0，+∞），∴∈[4，+∞），∴S∈
綜上，S∈．
點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．