Question

已知定圓A：（x+

3

）²+y²=16的圓心A，動圓M過點B（

3

，0），且與圓A相切，動圓的圓心M的軌跡記為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)不垂直于x軸的直線l與上述曲線C交于不同的兩點P，Q，點D（-3，0），若x軸是∠PDQ的角平分線，證明直線l過定點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,軌跡方程

專題：計算題,證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）依據(jù)條件判斷定圓和動圓相內(nèi)切，再依據(jù)橢圓的定義寫出曲線C的方程；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0．由角平分線的性質(zhì)可得k_PD=-k_QD，設(shè)直線PQ的方程為y=kx+t，聯(lián)立橢圓方程，消去y，運用韋達定理，代入化簡整理，可得k=

3

4

t，即有直線PQ的方程為y=

3

4

tx+t，即為y=

3

4

t（x+

4

3

）．令y=0，即可得到定點．

解答： （1）解：圓A的圓心為A（-

3

，0），半徑r₁=4，
設(shè)動圓M的圓心M（x，y），半徑為r₂，依題意有，r₂=|MB|．
由|AB|=2

3

，可知點B在圓A內(nèi)，從而圓M內(nèi)切于圓A，
故|MA|=r₁-r₂，即|MA|+|MB|=4，
所以，點M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，
設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由2a=4，2c=2

3

，可得a²=4，b²=1．
故曲線C的方程為

x2

4

+y²=1；
（2）證明：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由題意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0，
設(shè)直線PQ的方程為y=kx+t，聯(lián)立橢圓方程，消去y，得（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0，
則x₁+x₂=

-8kt

1+4k2

，x₁x₂=

4t2-4

1+4k2

，y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t，
∵x軸是∠PDQ的角平分線，∴k_PD=-k_QD，∴

y1

x1+3

+

y2

x2+3

=0，
即有x₁y₂+x₂y₁+3（y₁+y₂）=0，即有（3k+t）（x₁+x₂）+2kx₁x₂+6t=0，
即有（3k+t）•

-8kt

1+4k2

+2k•

4t2-4

1+4k2

+6t=0，化簡可得，k=

3

4

t，
即有直線PQ的方程為y=

3

4

tx+t，即為y=

3

4

t（x+

4

3

）．令y=0，則x=-

4

3

．
則直線l過定點（-

4

3

，0）．

點評：本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)及運用，考查直線的斜率公式及運用，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用韋達定理，化簡整理，考查運算能力，屬于中檔題．